数学建模竞赛论文 关于车灯线光源的优化设计
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本文作者: 刘杰张莹莹 郑薇薇 2002 年全赛获北京市一等奖
关于车灯线光源的优化设计
一问题的提出.1
概念解释 2
二 问题的分析.2
三 模型假设及符号说明.2
模型假设 2
符号说明 3
概念解释 3
建模前的准备 3
四 模型建立.4
模型分析.4
五 模型求解及问题回答.7
问题二的回答 10
问题三的回答 12
六 可能的误差分析以及模型评价.13
可能的误差分析.13
模型评价.14
一问题的提出
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面 车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口
半径 36 毫米 深度 21.6 毫米 经过车灯的焦点 在与对称轴相垂直的水平方向 对称地放置
一定长度的均匀分布的线光源 要使车灯的照明效果达到一定要求 就必须在某一设计规范
标准下确定线光源的长度 现采用如下设计规范下设计 在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放
置一测试屏 屏与 FA 垂直 用以测试车灯的反射光 在屏上过 A 点引出一条与地面相平行
的直线 在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点使AC=2AB=2.6 米 要求 C 点的光强度不小
于某一额定值 B 点的光强度不小于该额定值的两倍 在满足该设计规范的条件下 如何设
计 即线光源长度取多少时 线光源的功率最小 此时反射光的亮区如何
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概念解释
对称轴 过抛物面的顶点以及焦点的直线
照亮区域 从车灯发出的光线所到达的范围内满足一定要求 如可视度满足一定标准
的区域
反射面 光线射到该平面后发生反射 即所有反射点所在的平面 对于车灯来说 反射
面即车灯的内表面
二 问题的分析
汽车安装车前灯的目的是行车时照亮车前的某一区域 为了达到安全行车 这一区域应
该满足一定要求 显而易见 如果给定一线光源 即给定线光源的长度 车灯的发光功率越
大 照亮区域内各个点的光强度越大 如果给定车灯的功率 线光源的长度与照亮区域也存
在一定关系 因此 可以调整功率或者线光源的长度 使车灯的照亮区域的光强分布满足一
定的要求 但是考虑到节能的要求 车灯在满足照亮区域光强要求的情况下 应该使车灯的
功率尽可能小 这样 线光源的长度就有一个最合理或者比较合理的值 使得车灯的照亮区
域的光强分布可以满足行车需要 并且此时的线光源的功率为可以提供该照亮条件的最小功
率
由于车灯的形状已经给定 而且为一确定的标准几何形状 也就是说线光源所发出光的
发射面已经确定 为一旋转抛物面 而且线光源均匀分布且放置的位置比较特殊 对称地放
置在经过车灯的焦点 与车灯的对称轴相垂直的水平方向 如此 我们可以求出每一条从线
光源发出的光线经过车灯内表面即反射面上任意一点后的反射光线 这样就可以得到设计规
范中测试屏上每一个点的光强度 对于 B C 点使之满足设计规范标准的要求 求取合适的
线光源长度
三 模型假设及符号说明
模型假设
1 车灯的反射内表面绝对光滑 不考虑有细小的凹凸状况 也就是说认为反射光线不
会由于反射界面的不均匀或不是理想光滑状态而产生漫反射
2 线光源的物理性质处处均匀 且为一严格的直线 不考虑其粗度
3 设种线光源的备选材料完全没有差别 即对不同线光源的选择只是选择不同的长度
不涉及材料的不同等其他因素
4 水平放置的线光源严格经过车灯的焦点 与车灯的对称轴绝对垂直
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5 光在空气中传播时 能量没有损失 光源的光线射到抛物面即反射面上 被全部反
射8不考虑反射光线如果正好经过线光源时 将线光源的直径认为是 0 这样反射光不
会被线光源所阻挡
符号说明
P 线光源的功率
L 线光源的半长 即从线光源的一个顶点到中心的距离 则线光源的长 度为
2L 在不至于混淆的情况下 还用 L 代表该线光源
F 车灯的内表面 即旋转抛物面的焦点
SCRN 在旋转抛物面的焦点 F 正前方 25 米处的所放置的测试屏 该屏与旋转抛物
面的对称轴垂直
XL 测试屏上过 A 点与地面相平行的直线
B C XL 上A点同侧的两点 不妨假设点 B C 在从点 A 指向 x 轴的正方向上
Area 车灯的照亮区域
Bf B 的光强度
Cf C 的光强度
0f 对C点的光强度要求的额定值
概念解释
对称轴 过抛物面的顶点以及焦点的直线
照亮区域 从车灯发出的光线所到达的范围内满足一定要求 如可视度满足 一定标准
的区域
反射面 光线射到该平面后发生反射 即所有反射点所在的平面 对于车灯来说 反射
面即车灯的内表面
建模前的准备
由于车灯的反射面以及线光源都是标准的几何形状 而且由光线的反射定律 反射光与
入射光与法线之间有严格的几何意义 我们考虑可以建立空间的直角坐标系 借助于解析几
何来分析 以旋转抛物面的定点为原点 O 以对称轴为 Y 轴 指向开口方向为正方向 建
立如图一所示的空间直角坐标系 (以一毫米为一单位长度)
在此坐标系下 我们可以得到如下的关系
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1 由车灯的开口半径为 36 毫米 深度为 21.6 毫米 可以得到车灯的内表面所在旋
转抛物面的方程为yzx 6022
=+ 车灯的内表面即反射面应满足如下关系≤≤
≤≤
≤≤
3636
6.210
3636
z
y
x
2 由1中所求得的旋转抛物面的方程 可以得出旋转抛物面的焦点 F 的坐标为
)0,15,0(
3 由于线光源对称地放置在经过车灯的焦点且与车灯的对称轴相垂直的水平方
向 即经过 F 点与YOZ 面向垂直的位置 则线光源的方程为
=
=
0
15
z
y
)( LxL ≤≤
4 测光屏所在平面的方程为 25015=y
5 由于 A 点为旋转抛物面的焦点 F 正前方 25 米处的一点 则A点坐标为
( )0,25015,0
6 由于 AC=2AB=2.6 米则B点坐标为 ( )0,25015,1300 C 点坐标为( )0,25015,2600
四 模型建立
模型分析
考虑对车灯的设计规范标准 用某一个测试屏去截取车灯发出的所有光 包括直射光和
反射光 则在该测试屏上必然形成一个光照的区域 其中 如果 C 点的光强度不小于某一
额定值 0f B 点的光强度不小于该额定值的两倍 即20f 则认为此时的车灯的照亮区域可
以满足安全行车的要求
该条件可以描述如下
0}1,2{},{ fff CB *≥ a
即≥≥002
ff
ff
C
B
则只要满足 0}
2
,{ f
f
fMin B
C ≥ 即可
要寻找一个线光源的最合理的长度 使得车灯在满足照亮要求的情况下 车灯的功率尽
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可能小
由于车灯的形状已经给定 而且为一确定的标准几何形状 也就是说线光源所发出光的
发射面已经确定 为一旋转抛物面 而且线光源均匀分布且放置的位置比较特殊 对称地放
置在经过车灯的焦点 与车灯的对称轴相垂直的水平方向 如此 我们可以求出每一条从线
光源发出的光线经过车灯内表面即反射面上任意一点后的反射光线 这样就可以得到设计规
范中测试屏上每一个点的光强度 对于 B C 点使之满足设计规范标准的要求 求取合适的
线光源长度
在具求解时我们需要明确 线光源长度的最合理的值与功率 P 的取值无关 即当 P=P 0 时
照亮的亮区为 Area 1 那么当 P=k*P0 时 车灯所照亮的亮区为 Area k ,那么 Area k 与Area 1 的
区域大小相同 不同的只是其中每一点的光强前者是后者的 k 倍 这一点可以由光强的可加
性得知
我们可以得到如下结论 在功率 P 一定时 B C 两点的光强度仅为关于 L 的函数关系
我们的关键找到这个具体的关系
以下以 B 点为
……

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