1.4 一元二次不等式 一、素质教育目标(一)知识教学点1.二次函数性质、图象.2.解一元二次不等式.3.有约束条件二次函数的最值.4.二次函数、二次方程与一元二次不等式解间的关系,一元二次不等式的应用.(二)能力训练点1.理解一元二次函数,一元二次方程与一元二次不等式间的关系.2.掌握解一元二次不等式的方法.3.掌握求有约束条件二次函数最值.4.能灵活应用解不等式知识求区间根的问题.(三)德育渗透点通过理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式间的关系,不仅提高学生解综合问题的能力,也使学生初步树立辩证观.
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1.教学重点:掌握解一元二次不等式的方法,会求有约束条件的二次函数最值,应用一元二次不等式知识解区间根问题.2.教学难点:理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系,讨论区间根问题.3.教学疑点:正确区分绝对不等式f(x)>0与f(x)<0条件的差异.三、课时安排本课题安排2课时.四、教与学过程设计第一课时初中我们学过一元一次不等式,前面进一步学习|ax+b|c型的不等式,这里虽有绝对值符号,但是一次的.现在,我们将提高一步学习一元二次不等式(宣布课题).1.二次函数及图象师:设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),试问什么时候二次函数图象与x轴有二交点?一交点?无交点?
生:判别式Δ=b2-Δac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x轴无交点.师:当Δ>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x10时,y=f(x)图象,当a<0时,y=f(x)的图象.师指出,一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.观察图象不难知道.
师提问:当=0,y=f(x)图象与x轴交点几个?其图象?师指出,观察图象不难知道=0,a>0 =0,a<0师问:当<0时,y=f(x)图象与x轴有公共点吗?其图象?生:当<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
师指出:观察图象不难知道.a>0时绝对不等式f(x)>0解为x∈R.绝对不等式f(x)<0解为x∈R.2.例举(师生共同活动)例1 解不等式(x+4)(x-1)<0.解:令(x+4)(x-1)=0得x1=-4,x2=1,>0,又a>0.∴ 不等式解为-4例2 解不等式2x2-3x-2>0.解:令2x2-3x-2=0,得∴不等式解为例3 解不等式-3x2+6x>2.解:原不等式为-3x2+6x-2>0.令-3x2+6x-2=0,得∴不等式解为
例4 解不等式4x2-6x+1>0.解:令9x2-6x+1=0,得例5 解不等式x2-x+2<0.解:令x2-x+2=0∵<0,a>0,∴不等式解为x∈ .例6 解不等式x2+mx-6m2<0.解:令x2+mx-6m2=0有=m2+24m2≥0,x1=2m,x2=-3m.又a>0当x>0时,x1>x2.∴不等式解为
-3m第二课时 一、教与孝过程设计师:上节课学习了一元二次函数图象,解一元二次不等式.本节课将进一步学习一元二次函数性质、解一元二次不等式在求最值与解区间根问题的应用(宣布课题).1.一元二次函数性质师:设有一元二次函数y=2x2-8x+1试问,它的标准式是什么?顶点坐标?对称轴?单调区间?
生:y=2(x-2)2-7其顶点坐标为(2,-7)对称轴x=2,从图象不难看到当x>2时,随x变大,y的值也变大,当x<2时随x值变大,y的值反而变小.师:进一步,考虑一般情况,设有二次函数y=ax2+bx+c(不设妨a>0),试问,它的标准式是什么?顶点坐标?对称轴?单调区间?生:经配方有
2.有约束条件最值师提问:设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?生:经配方有y=2(x-2)2-7∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,∴y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此ymax=f(4)=1.ymin=f(3)=-5.师提问:设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问,此函数对称轴是什么?
当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?由此,求y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.生:经配方有y=2(x-a)2+3.对称轴为x=a.当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值也变大.当3根据上述分析,可知.当a≤3时,ymax=f(4)=2a2-16a+35.ymin=f(3)=2a2-12a+21.当33.区间根问题.师:在初中学习一元二次方程时,我们已学过方程无实根,有相等实根,有两不等实根的条件,此时,没有考虑根在什么范围内,在高中,将进一步学习根在指定区间内应满足的条件,下面将通过具体的例题说明之.设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)=0.试问:(1)m为何值时,有一正根、一负根.(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1.(3)m为何值时,有两正根.(4)m为何值时,有两负根.(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?生:(在教师帮助下回答问题)
(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x2<0,依违达定理有m+2<0.∴ m<-2.师问:此时为什么设考虑>0呢?生:因为,x1、x2<0条件下,ac<0,因此能保证>0.(2)设x1<1,x2>1,则x1-1<0,x2-1>0只要求(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0.依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1<0.
依韦达定理有师问:若缺少条件>0行吗?存在如图1-12所示的二次函数,开口向上,与x轴无交点.因此,方程f(x)=0无实根,不合题设.
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0,即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0.∴(7m+1)(9m+10)<0.
二、作业(略)三、板书设计 1.4 一元二次不等式 一、素质教育目标(一)知识教学点1.二次函数性质、图象.2.解一元二次不等式.3.有约束条件二次函数的最值.4.二次函数、二次方程与一元二次不等式解间的关系,一元二次不等式的应用.(二)能力训练点1.理解一元二次函数,一元二次方程与一元二次不等式间的关系.2.掌握解一元二次不等式的方法.3.掌握求有约束条件二次函数最值.4.能灵活应用解不等式知识求区间根的问题.(三)德育渗透点通过理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式间的关系,不仅提高学生解综合问题的能力,也使学生初步树立辩证观.
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1.教学重点:掌握解一元二次不等式的方法,会求有约束条件的二次函数最值,应用一元二次不等式知识解区间根问题.2.教学难点:理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系,讨论区间根问题.3.教学疑点:正确区分绝对不等式f(x)>0与f(x)<0条件的差异.三、课时安排本课题安排2课时.四、教与学过程设计第一课时初中我们学过一元一次不等式,前面进一步学习|ax+b|c型的不等式,这里虽有绝对值符号,但是一次的.现在,我们将提高一步学习一元二次不等式(宣布课题).1.二次函数及图象师:设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),试问什么时候二次函数图象与x轴有二交点?一交点?无交点?
生:判别式Δ=b2-Δac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x轴无交点.师:当Δ>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x10时,y=f(x)图象,当a<0时,y=f(x)的图象.师指出,一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.观察图象不难知道.
师提问:当=0,y=f(x)图象与x轴交点几个?其图象?师指出,观察图象不难知道=0,a>0 =0,a<0师问:当<0时,y=f(x)图象与x轴有公共点吗?其图象?生:当<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
师指出:观察图象不难知道.a>0时绝对不等式f(x)>0解为x∈R.绝对不等式f(x)<0解为x∈R.2.例举(师生共同活动)例1 解不等式(x+4)(x-1)<0.解:令(x+4)(x-1)=0得x1=-4,x2=1,>0,又a>0.∴ 不等式解为-4例2 解不等式2x2-3x-2>0.解:令2x2-3x-2=0,得∴不等式解为例3 解不等式-3x2+6x>2.解:原不等式为-3x2+6x-2>0.令-3x2+6x-2=0,得∴不等式解为
例4 解不等式4x2-6x+1>0.解:令9x2-6x+1=0,得例5 解不等式x2-x+2<0.解:令x2-x+2=0∵<0,a>0,∴不等式解为x∈ .例6 解不等式x2+mx-6m2<0.解:令x2+mx-
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